Al volar entre países en el Área Schengen, ¿estoy obligado a mostrar mi identificación cuando me lo pidan antes de abordar un vuelo?

Si. Las autoridades (que incluyen el aeropuerto y las aerolíneas) pueden realizar un control de seguridad, que puede incluir verificar las identidades de los pasajeros solicitando una identificación. Para citar Wikipedia (más detalles allí),

[Según] las directrices de la Comisión Europea, los controles de identidad de los pasajeros aéreos que vuelan dentro del Área Schengen deben realizarse solo en el momento del check-in, o al ingresar a la zona segura del aeropuerto, o en la puerta de embarque: no se debe exigir a los pasajeros someterse a una verificación de su identidad en más de una ocasión antes de su vuelo dentro del Área Schengen.

Según tengo entendido, se le puede pedir que muestre su identificación antes de abordar un vuelo dentro de Schengen, y si se niega, se le negará el abordaje.

Cómo se implementa esto en la práctica varía según la aerolínea y el aeropuerto. A menudo puede abordar con solo una tarjeta de embarque, mientras que otras veces, la tripulación de tierra revisa el pasaporte de cada pasajero.

Muy probablemente, pero de acuerdo con las políticas de la aerolínea y el aeropuerto, nada que ver con Schengen.

En general, las medidas de seguridad implementadas por los transportistas y puertos están completamente separadas de los problemas de control fronterizo del gobierno.

Debe identificarse en el check-in / depósito de equipaje. Es posible que no tenga que hacerlo si imprime su tarjeta de embarque.
Cuando vaya a la zona de vuelo / escáneres, creo que verifican su tarjeta de embarque, pero no la identificación. Lo mismo para el embarque.
Entonces, tentativamente, no. A menos que tenga equipaje.