¿Qué es [matemáticas] e [/ matemáticas]? ¿Cuál es su significado físico y su significado?

Answer 1

Aquí hay algunas otras formas de encontrar [matemáticas] e [/ matemáticas].

[matemáticas] e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {\ sqrt [n] {n!}} [/ matemáticas]

Otra forma de decir esto es que la media geométrica de [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 / e [/ matemáticas]. Ver la fórmula de Stirling.

Supongamos que agrega pajitas a la espalda de un camello hasta que se rompa. Las pajillas tienen pesos independientes distribuidos uniformemente en [matemática] (0,1) [/ matemática], y la espalda del camello se rompe cuando el peso total es [matemática] 1 [/ matemática]. Entonces, el número promedio de popotes que se necesitan para romper la espalda del camello es [matemáticas] e [/ matemáticas]. Esto está relacionado con

[matemáticas] e = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]

ya que la probabilidad de que necesites sacar el [math] (n + 1) [/ math] st pop es [math] \ frac {1} {n!} [/ math].

Suponga que su banco ofrece [matemáticas] 100 \% [/ matemáticas] de interés por año. Si esto se agrava continuamente, luego de un año su dinero se multiplica por [math] e [/ math]. Si fuera compuesto [matemáticas] n [/ matemáticas] veces por año, entonces multiplicaría su dinero por [matemáticas] (1+ \ frac {1} {n}) ^ n [/ matemáticas], por ejemplo, si fuera para obtener [matemática] 25 \% [/ matemática] interés cada trimestre obtendría [matemática] (1+ \ frac {1} {4}) ^ 4 [/ matemática].

[matemáticas] e = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {n}) ^ n. [/ matemáticas]

Deje que [math]! N [/ math] sea el número de alteraciones de n objetos, el número de permutaciones sin puntos fijos. Luego

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n!} {! n} = e. [/ matemáticas]

Es decir, si toma una permutación aleatoria uniforme de n objetos, con n grande, entonces la probabilidad de que sea un trastorno es aproximadamente [matemática] 1 / e [/ matemática]. El método de inclusión-exclusión nos da [math] \ frac {! N} {n!} = \ Sum_ {i = 0} ^ {n} \ frac {(- 1) ^ i} {i!} [/ Math ], y [matemáticas] 1 / e = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ i} {i!} [/ matemáticas].

Answer 2

Comencemos esto desde cero. La fórmula [math] \ displaystyle \ int x ^ n \ mathrm {d} x = \ dfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1} [/ math] es válida para todos [math] n [/ math ] excepto por [matemáticas] n = -1 [/ matemáticas]. Sin embargo, tiene el siguiente gráfico para [math] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ math]:

Esto revela que al menos en dominios restrictivos, [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm {d} x} {x} [/ math] tendrá una solución. Luego, la función [math] \ ln {x} [/ math] se define como [math] \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ mathrm {d} t} {t} [/ math]. Probamos los siguientes teoremas para [math] \ ln {x} [/ math].

1. [matemáticas] \ ln {1} = 0 [/ matemáticas]. Obvio de su definición.
2. [matemáticas] \ ln {ax} = \ ln {a} + \ ln {x} [/ matemáticas]. De hecho, según el teorema fundamental del cálculo, [math] \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (\ ln {ax}) = a \ dfrac {1} {ax} = \ dfrac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (\ ln {ax}) [/ math]. Por lo tanto, [math] \ ln {ax} = \ ln {x} + C [/ math]. Al establecer [math] x = 1 [/ math], vemos que [math] C = \ ln {a} [/ math].
3. [math] \ ln {x} [/ math] es uno a uno. Obvio de la definición.

Entonces definamos la función [math] \ mathrm {e} ^ x [/ math] como la inversa de [math] \ ln {x} [/ math]. Entonces, tenemos la siguiente propiedad para [math] \ mathrm {e} ^ x [/ math]:

[matemáticas] \ mathrm {e} ^ {a + x} = \ mathrm {e} ^ a \ mathrm {e} ^ x [/ math]

De hecho, deje que [math] \ ln {x_1} = a, \ ln {x_2} = x. [/ Math] Entonces, [math] \ mathrm {e} ^ a \ mathrm {e} ^ x = x_1x_2 [/ math ] Pero como [math] \ ln {x_1} + \ ln {x_2} = \ ln {x_1x_2}, [/ math] se deduce que [math] \ mathrm {e} ^ {a + x} = \ mathrm {e } ^ a \ mathrm {e} ^ x. [/ math]

Por lo tanto, para todos los propósitos prácticos, [math] \ mathrm {e} ^ 1 \ equiv \ mathrm {e} [/ math] se comporta como un número puro. Para determinar [math] \ mathrm {e} [/ math], primero observamos la derivada de [math] \ mathrm {e} [/ math]. Tenemos,

[matemáticas] \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (\ ln (\ mathrm {e} ^ x)) = \ dfrac {1} {\ mathrm {e} ^ x} \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (\ mathrm {e} ^ x). [/ math] Pero desde [math] \ ln (\ mathrm {e} ^ x) = x [/ math ], [math] \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (\ mathrm {e} ^ x) = \ mathrm {e} ^ x [/ math]

Con esto, calculamos la serie McLaurin para [math] \ mathrm {e} ^ x [/ math] como:

[math] \ mathrm {e} = 1 + \ dfrac {1} {1!} + \ dfrac {1} {2!} + \ dfrac {1} {3!} + \ cdots [/ math]

Este número puede ser aproximado a [matemáticas] 2.718 [/ matemáticas]. Sin embargo, se ha demostrado que el número [math] \ mathrm {e} [/ math] es realmente irracional. Existen varias pruebas de esto. Puedes leerlos aquí.

NÓTESE BIEN. Aquí, por razones de brevedad, se omiten algunas propiedades adicionales de las funciones anteriores.